【摘要】级数理论是数学分析的重要组成部分，而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
【关键词】正项级数;收敛;方法;比较
【中图号】G642【文献标示码】A【文章编号】1005-1074(2009)01-0076-01
1判别方法的比较
当级数含有具体数字且可化为含参数的一般式、通项为等差、等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。如：
1＋12+13+…1n+…
取0＜ε0＜12，n,若令p=n
Sn+p-Sn=1n+1+1n+2+…+12n＞12n＋…12n＝12＞ε0，级数发散
当级数表达式型如1f(x)，f(x)为任意函数、级数一般项如含有sinθ或cosθ等三角函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数、P级数、调和级数进行比较、limn→+∞un+1un、limn→∞nun不易算出或limn→+∞un+1un＝1、limn→∞nun=1等此类无法判断级数收敛性或进行有关级数的证明问题时，应选用比较判别法。
当级数含有阶层、n次幂，型如a!或an或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比式判别法。当通项含(-1)n与f(x)的函数可以选用比式判别法极限形式判断，例：
42+4.72.6+4.7.102.6.10+…limn→∞un+1un=limn→∞3n+44n+2=34＜1
级数∑4.7.10…(3n+4)2.6.10…(4n+2)收敛
当级数含有n次幂，型如an或f(x)n或通项un=1n1npn即分母含有含1nx的函数，分子为1时，级数含有多个聚点，选用根式判别法，但需要注意若通项含∑1(1nn)n时，不能使用根式判别法，因为limn→∞11nn不存在。例如：∑∞n=1〔n2n+1〕n;limn→∞nun=limn→∞n2n+1=12级数收敛
一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用比式判别法来判断，但有时候我们只能用根式判别法而不能使用比式判别法。例如：1+b+bc+…+bncn+…(0＜b＜c)limn→∞2n-1bn-1cn-1=bc；limn→∞2nbncn=bcbc＞1，级数发散；bc＜1，级数收敛；bc＝1，原式=1+b+1+b+…级数发散un+1un=bn为奇数
cn为偶数
lim———n→∞un+1un=c，c＞1级数收敛;limn→∞un+1un=b＞1级数发散无法判断敛散性。
2总结
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中运用较广泛。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性，也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别，在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径。
3参考文献
[1]吴良森，等.数学分析习题精解[M].北京：科学出版社,2002
[2]周应.数学分析习题及解答[M].武汉：武汉大学出版社,2001
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。