摘要：数论就是一门研究整数性质的学科，它是数学中最古老，最纯粹，最优美的一个领域。本文探讨了中国古代数论的历史和发展现状，论述了中国古代数论在数学发展中的重要影响。
关键词：数论古代数论整数中国剩余理论
素有数学王子之称的德国19世纪数学大师高斯（Gauss，1777-1855）就曾说过：数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。由此可见数论在数学中的重要地位。正因为正整数的性质深刻复杂、难以琢磨，并涉及到数学的实质与本原，因此数论长期以来一直被认为是一门优美漂亮，纯之又纯的数学学科。
（一） 算筹
现存资料中，算筹数字的记数法则最先出现在《孙子算经》卷上，而《夏侯阳算经》更为完整：“一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。满六以上，五在上方。六不积算，五不单张。”因此算筹数字分纵横两式。
数字： 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式：
横式：
用上述符號，以及用空位表零，则任何一个自然数都可以表示出来，比如1991便是，它完全采用十进位置值制，这是当时世界上最简便的计算工具，最先进的记数制度，比古巴比伦的六十进位置值制方便，比古希腊、罗马的十进非位置制先进。
（二）九九表与整数乘除法则
九九乘法表在春秋时期已经广泛流传。乘除法法则要用到九九表。《管子》与刘徽都谈到伏羲作九九之术。九九之术就是九九表。古代的九九表从“九九八十一”起到“二二如四”止，故名。《韩诗外传》说齐桓公设庭燎招贤，过了一年，没有一个人来。于是东野有以“九九”见者，桓公使戏之曰：“九九足以见乎？”鄙人曰：“……夫‘九九’薄能耳，而犹礼之，况贤于九九者乎！……桓公曰：善。”乃固礼之。四方之士相导而至矣。说明在春秋时期乘除算法已经是家喻户晓的常识。
中国最早的数学典籍《周髀算经》（至晚公元前1世纪），用数学的方法阐明盖天说和四分历法的数理天文文学著作。它记载了西周杰出的政治家、军事家、思想家，文王之子、武王之弟周公（公元前11世纪）与大夫商高关于测量的一段对话，其中提到：勾广三，股修四，径隅五。这应该是（3，4，5）这组最小的勾股数的首次记录。在《周髀算经》里还叙述了周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的一段对话：“ 以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得斜至日。”此即勾股定理。
根据《周髀算经》记载，陈子求斜日的方法应用了完整的勾股定理。《九章算术》[1]勾股章明确提出了勾股术：勾股术曰：勾、股各自乘，并，而开方除之，即弦。又，股自乘，以减弦自乘，其余，开方除之，即勾。又，勾自乘，以减弦自乘，其余，开方除之，即股。这依次是
c=a2+b2
a=c2-b2（1）
b=c2-a2
勾股数组，又称整数勾股形。是指满足（1）式的所有正整数解。《九章算术》勾股章“二人同所立”、“二人俱出邑中央”问已经使用了勾股数通解公式。
刘徽说：“此以南行为勾，东行为股，邪行为弦。并勾弦率七。”此问设（c+a）：b=7：3。若以m表示并勾弦，n表示股率，即（c+a）：b=m：n，术文便是：a：b：c=112（m2-n2）：mn：112（m2+n2）。（2）
现代数论证明，若互素，则（2）式就是勾股数组的通解公式。而在这个题目中，m：n=7：3，在后者中m：n=5：3，其中的m，n，皆互素，说明《九章算术》的编纂者对（2）作为勾股数组的通解公式的条件已有某种认识。
在《孙子算经》里，提到一个“物不知数”的问题：
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
《孙子算经》的作者不详，一般认为这是公元4世纪（东晋）的作品，比孙武（约公元前535—）的《孙子兵法》要晚得多。用同余的语言来表述“物不知数”问题就是
x≡2（mod 3）
x≡3（mod 5）
x≡2（mod 7）（3）
《孙子算经》的解法是
N=2×70+3×21+2×15-2×105=23，
其根据是：70=2×5×7≡1（mod 3），21=3×7≡1（mod 5），15=3×5≡1（mod 7）。可见《孙子算经》的作者在一定程度上明白了下面这个定理。
若Ai（i=1，2，……n）是两两互素的正整数，Ri ki=n1j=1Aj1Ai≡1（mod Ai），i=1，2，……n， 则N≡n1i=1Rikin1j=1Aj1Ai（modn1j=1Ai）（4） 这是满足上述同作方程组最小正整数。书中还指出了关于这3个模的一般同余方程组的求解方法，其中余数2，3和2可以换成任意数。这是孙子定理的特殊形式，唐代僧人天文学家一行（683—727）曾用此法制订历法，但其更一般的方法要到宋代才由秦九韶在其名著《数书九章》[2]（1247）里给出。对任意的正整数mi和整数bi（1≤i≤k），秦九韶考虑了同余方程组 x≡b1（mod m1） …… x≡bk（mod mk） 中国剩余定理：设 （mi，mj）=1（i≠j），m=m1……mk，m=miMi（1≤i≤k） 则同余式组（3）对模有唯一解 x≡M’1M1b1+……M’kMkbk（mod m），其中M’1Mi≡1（modmi），1≤i≤k. 中国剩余定理[3]亦称孙子定理，按照中国数学家潘承洞（1934—1997）的说法，西方人之所以命名为中国剩余定理，是因为中国古代数学家贡献的著名定理仅此一个，可谓是一种轻视。然而，远在孙子之前的秦朝末年，便有了中国剩余定理的特例：韩信点兵。有兵一队，若列成5行纵队，则末行1人；6行纵队，则末行5人；成7行纵队，则末行4人；成11行纵队，则末行10人。求兵数？值得一提的是，秦九韶（1202或1208—1261）字道古，在杭州浙江大学附近的西溪路上，曾有一座桥叫道古桥，就是为了纪念这位13世纪的数学家。 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重要的内容。 参考文献： [1] 王工一.论《九章算术》和中国古代数学的特点[J]. 丽水学院学报，2006（02）. [2] 孔国平.《数书九章》中的一次同余式理论[J].北京师范大学学报（自然科学版），1988，（02）. [3] 桂建明.中国剩余定理及其应用[J].零陵学院学报，2005，26（2）：138-140.