二项式定理是组合数学中的重要内容，也是高考的考点之一。在高考中对二项式定理的考查主要是以小题为主，难度不算很大，但其解法有一定的灵活性，下面就来对二项式定理在解题中的应用进行探究。
1.二项式定理：
（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn（n∈N*）
2.二项式展开式中的通项：
Tr+1=Crnan-rbr（0≤r≤n，r∈N）
例1 求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）n+2展开式中的x2项的系数。
解：（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）n+2
=（1+x）3[1-（1+x）n]1-（1+x）
=（1+x）n+3-（1+x）3x。
而分子（1+x）n+3-（1+x）3中含x3项的系数为C3n+3-1=n3+6n2+11n6。
所以（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）n+2展开式中的x2项的系数为n3+6n2+11n6。
點评：本题的解法立足于整体，先从等比数列求和入手，再处理x2项系数的问题，转化中达到快捷。
例2 已知x12-2x2n的二项式系数比各项系数的和大255，求：
（1）二项式系数最大的项；
（2）展开式中系数绝对值最大的项是第几项？
（3）展开式中系数最大项和最小项。
分析：明确与理解各“系数”的含义。
解：因为二项式系数的和为C0n+C1n+…+Cnn=2n，
令x=1得各项系数和为（1-2）n=（-1）n，
依题意有2n=（-1）n+255。
若n为奇数时，2n=254，n∈N*，无解；
若n为偶数时，2n=256，n∈N*，解得n=8。
（1）因为n=8，所以展开式共9项，则第5项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为T5=1120x-6。
（2）设第r+1项的系数绝对值最大，则Cr8·2r≥Cr-18·2r-1，Cr8·2r≥Cr+18·2r+1。
即2r≥19-r，18-r≥2r+1，
解得5≤r≤6。
所以系数绝对值最大的项是第6项与第7项。
（3）由（2）知第6项与第7项系数的绝对值最大。
T6=C58x123-2x25=-1792xx9，
T7=C68x122-2x26=1792x11。
所以系数的最大项为T7=1792x11，系数最小项为T6=-1792xx9。
点评：本题主要考查的是二项展开式中，系数、二项式系数与各项系数和，要解此题，必须先弄清这些“系数”的含义，这也是解本题的关键。
作者单位：山东省济宁市第二中学