摘 要 常微分方程理论具有较强的应用性，导致教学过程中容易过多强调理论的严密性而忽视实践性与应用性的教学现状，本文从优化教学内容、改进教学方法及制定多元的评价模式三个方面入手探索常微分方程教学中培养学生的数学建模能力和应用能力。
关键词 常微分方程 数学建模能力 应用能力
中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2015.03.051
Training Mathematical Modeling Ability and Application Ability
in the Teaching of Ordinary Differential Equation
ZHOU Xia[1][2]， SHUI Lili[3]， ZHANG Deran[1]
（[1]School of Mathematics and Statistics， Fuyang Teachers College， Fuyang， Anhui 236037;
[2]Graduate School of Fuyang Teachers College，Fuyang， Anhui 236037;
[3]The Attached Middle School of Fuyang Teachers College， Fuyang， Anhui， 236037）
Abstract In view of the fact that the ordinary differential equation theory is very applicable in real-life practice， while in the teaching process， it is liable to put too much emphasis on theory of leakproofness and ignore the practicality and applicability. This paper from optimizing the teaching content， improving teaching methods， applying ability three aspects discussed how to train students" ability of mathematical modeling and application during the teaching of the ordinary differential equation.
Key words ordinary differential equation; mathematical modeling ability; application ability
常微分方程是17世纪诞生的一门数学课程，对先修课程及后继课程起着承前启后的作用，也是偏微分方程、泛函微分方程、动力系统、控制理论、变分法等数学分支的基础。高师院校常微分方程课程教学的现状是过多强调理论，淡化甚至忽视其实践性和应用性，缺乏对学生动手、建模、应用知识及创新能力的培养，导致对这门课程的功能不甚了解，甚至建立简单的常微分方程数学模型都显得非常吃力。常微分方程架起了现实生活和抽象数学之桥梁，数学建模是对现实世界的本质反映和科学抽象，在常微分方程课程中融入数学建模思想，培养学生的建模能力与应用能力势在必行。因此，我们认为在常微分方程教学过程中可通过以下途径培养学生的数学建模能力与应用能力。
1 优化教学内容
1.1 教学过程中适当删减理论性偏强和过程繁琐的证明
根据教学大纲确定的理论体系和知识单元，在吃透教材内容的基础上对教学内容进行适当删减，保证课程体系更科学，更适合学生应用能力的培养。目前，《常微分方程》教材都重视基础理论内容，难度较大，内容处理过于抽象，证明过程繁琐，应用方面的内容涉及较少，造成教学内容与实际的严重脱节，不利于学生数学建模能力和（应用知识）能力的培养。在具体的课程教学中我院使用的教材是王高雄等编著的“十一五”国家级规划教材《常微分方程》（第三版）。在教学中，以生为本，对教材作如下处理：第三章中解对初值的连续可微性只讲述定理条件和结论，证明过程;第五章中存在唯一性定理只介绍定理内容，不给予证明;对第四章和第五章内容进行调整，先讲第五章再讲第四章，把高阶微分方程看作微分方程组的特殊，这样第四章的许多公式和定理就必证明了。一方面，删掉一些枯燥的、理论性强的、繁琐的证明以免学生产生厌学情绪。另一方面，适当删减理论性偏强和过程繁琐的证明，节约课时。将最新研究成果及其应用前景纳入教学内容，激发学生兴趣，引导学生从数学理论到现实问题的“实现过程”也即数学建模过程，培养其数学建模能力与应用能力。
1.2 教学过程中适当充实应用素材，合理引入常微分方程的数学模型
以实际问题为案例，引导学生围绕实际问题运用常微分方程建构数学模式，有意识地将数学理论、方法有机地结合起来，在常微分方程教学中融入数学建模思想，培养学生的应用能力特别是数学建模能力。根据具体章节内容选择适当的案例，围绕问题及其背景，给出方程式，运用常微分方程知识完成最优解答。在此基础上，回到问题情境中解释相关问题，通过理论、方程和实践的反复操练，让学生更好地了解如何运用所学知识来解决实际问题，提高学生学习兴趣，同时培养学生的数学建模能力和应用能力。
1.3 教学过程中介绍用Matlab、Mathenatic、Maple等数学软件求解常微分方程（组）
大多数的常微分方程需要密切配合Matlab、Mathenatic、Maple等数学软件的使用（增加：来求得解析解）。应用这些数学软件中的符号计算功能直接求解某些常微分方程，通过计算机数值计算和绘图迅速了解或者探讨某些常微方程的性态。结合计算机和数学软件进行常微分方程的求解，激发学生自己解决实际问题的欲望，培养其动手能力和综合应用能力。
1.4 教学过程中增加实验课容量
数学实验是为获得某种数学理论、探求或验证某个数学猜想、解决某类数学问题，运用一定的物质技术手段，经由数学思维活动的参与，在典型的环境中或特定的条件下进行的一种数学实践活动。①目前的常微分方程教材在数学实验内容的设计方面很缺乏，可在教学过程中适当的增加数学实验内容。在完成第五章学习后，选择不同的现实问题，给出相关文献资料，让学生依其感兴趣的问题建立模型，用所学过的方法求出方程的解析解或结合数学软件求出数值解或者方程的性态，根据结果解释或者指导实际问题，从而解决实际问题。
2 改进教学方法
2.1 以启发式和讨论式模式展开教学
启发式和讨论式教学模式，是常微分方程课程应努力探索的教学模式，它要求改变以往教师的主导地位，建构新型师生关系，提倡师生、生生互动。应根据教学任务和学习的客观规律，从学生实际出发，灵活应用各种方法调动学生思考、分析、解决问题的能动性和积极性，达到培养学生的综合能力的目的。②课程教学过程是师生共同创造性劳动的过程。教师在这个过程中，应不断确立学生的主体地位，唤起学生主体意识，发挥学生主观能动性，根据具体教学内容采用适当方式进行师生互动，生生互动。选取一些与学生生活息息相关的问题，设计与教学内容相关的合理问题串，让学生从实际问题背景出发，进行讨论，做出合理假设，选择适当变量，根据规律、列出并求解微分方程，解决实际问题，这种启发式和讨论式教学让学生从被动学习变为主动学习。学生有了学习兴趣，又对实际问题有分析理解能力，再加上数学建模能力与应用能力，就可以将实际问题转换为数学模型，再利用数学软件这个平台，最终解决实际问题。
2.2 以实际问题的解决为导向展开教学
微分方程的特点在于运用理论知识解决现实问题，因此，利用利用教材③中的理论和思想方法，以实际问题的解决为导向展开实践教学是切实可行的。如典型的常微分方程模型：RLC电路模型、数学摆模型、人口模型、传染病模型、生态模型、lorenz方程模型;现实生活中这样的例子很多，如：经济增长模型、交通模型、判别艺术真伪模型、烟雾的扩散与消失模型;④还有溶液浓度模型、时间估计模型、放射性元素衰变模型、最佳销售时机模型等。学生根据实例，在老师引导下，建立反映实际问题的微分方程，提出此微分方程有解的相关条件，然后求解，获取解决实际问题的“钥匙”。选择合适案例进行案例教学，既能培养学生提高围绕问题开展建模的能力，又让学生在数学理论的学习中获得解决问题的乐趣。
2.3 注重教学手段的多样化
常微分方程的特点决定既不能完全废弃传统的教学手段——“黑板+粉笔”，又不能完全地依赖多媒体展开教学，应将黑板、粉笔和多媒体有机地结合起来，针对不同的内容，科学地选择，有效地组织教学。对于抽象性强，思维难度大的定理证明、推导及例题的讲解，采用传统的“黑板+粉笔”板书，老师边板书边分析讲解，学生边思考边理解，达到师生同步思维;而对于一些问题的引入、背景分析、定理定义的表述、例题习题的解决以及一些应用性问题的讨论，则借助现代多媒体教学手段，灵活选择Matlab、Mathenatic、Maple等数学软件开展教学，培养学生的建模意识和运用数学思维、方法解决实际问题的能力，扩大课堂容量，直观、生动地将内容展现给学生，以多样化的教学手段，实现课程的优化教学。
3 制定多元的评价模式
评价机制是学习的向导，构建学生和谐发展取向的、多元的、客观的评价机制，客观的评价模式能有效调动学生的学习积极性，培养学生运用数学建模解决实际问题的能力。传统的评价机制过分强调常微分方程所学的知识理论的推演，常微分课程的考核都是期末以闭卷的形式进行考试，试题往往侧重于基本理论知识的考查而忽视了对学生运用理论知识解决实际问题的能力的考查，重理论而轻实践，重识记而轻应用的是其最大弊端，这样的考查，在无形中偏离了常微分方程的教学目标，无益于培养学生的创新思维能力。
为改变当前常微分方程课程考核的现状，必须对考核方式及命题内容进行改革，我们认为，可以尝试着推行“50+50”的评价模式，即期末成绩占50%，平时成绩占50%。期末考试命题适当地删减烦琐的演算，增加一些开放型的应用题，考查学生从实际出发，建立模型，求解问题并解释问题的能力，让学生意识到重在知识的应用和创造，要经常应用数学的思想方法去分析解决实际问题，使学生知道怎么学会书本知识以及怎么应用知识，加大对学生综合应用知识能力的考查力度。平时成绩的50%可以分为：平时作业占10%，课堂师生互动占10%，小论文占30%。小论文形式多样，要求学生从实际问题出发，合理运用所学知识，借助各种数学软件，建构数学模型并求解以解决实际问题。小论文可独立完成，也可以三人小组合作完成，培养学生的团队合作精神，有利于数学建模竞赛。毫无疑问，这种评价模式改变了期末考试定终身的考试模式，逐渐重视知识的应用，有利于培养学生的知识应用能力。
项目和编号为：阜阳师范学院基础教育研究专项项目（2013JCJY08）， 安徽省重大教学改革研究项目（2014zdjy082）， 安徽省教学质量与教学改革项目（2012jyxm334）
注释
① 邵光华，卞忠运.数学实验的理论研究与实践[J].课程.教材.教法，2007.27（3）：39-43.
② 李耀红，李秀兰，魏章志.常微分方程课程启发式教学探讨[J].宿州学院学报，2011.26（11）：100-102.
③ 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.7.
④ [美]WILLIAN F LUCAS.微分方程模型[M].朱煜民，周宇虹，译.长沙：国防科技大学出版社，1988.