摘要：
为了研究饱和发生率和时滞对传染病模型动力学性态的影响，建立了一类具有饱和发生率和指数出生且帶有时滞的SIR模型，通过对模型特征方程的分析，判定了系统的地方病平衡点的稳定性，并找到了系统发生分支的临界值，通过数值模拟验证了理论分析结果的正确性。结果表明：当时滞小于临界值时，地方病平衡点是局部渐近稳定的；当时滞大于临界值时，地方病平衡点不稳定，并产生了Hopf分支。研究结果对解释传染病的周期性暴发、预防和控制传染病的传播具有借鉴作用。
关键词：稳定性理论；SIR模型；时滞；饱和发生率；Hopf分支
中图分类号：O175.13文献标志码：A
doi： 10.7535/hbgykj.2017yx03003
Abstract：
In order to analyze the effects of saturation incidence and time delay on the dynamics of epidemic model， a delayed SIR model with a saturated incidence rate and exponential birth is constructed. By considering the characteristic equation of the system， the stability of the endemic equilibrium is analyzed， and the critical value of the bifurcation is found. The theoretical analysis results are verified by numerical simulations. The result shows that when the delay is less than the critical value， the endemic equilibrium is locally asymptotically stable； When the delay is larger than the critical value， the endemic equilibrium is unstable and there exists a Hopf bifurcation. The results of this study can be used to explain the periodic outbreaks of infectious diseases， and guide the prevention and control of the spread of the disease.
Keywords：
stability theory； SIR model； delayed； saturated incidence rate； Hopf bifurcation
由于气候的变化和环境的不断遭到破坏，一些新的突发性传染病威胁着人类的生命，影响着人们的日常生活。随着对传染病动力学研究的不断深入，大量的数学模型，如具体疾病传播、病毒模型、细胞感染模型等被用来分析各种各样的传播问题，具体的模型可参考文献[1—4]。大多数传染病模型采用双线性发生率和标准发生率，这在一定程度上是符合常情的，然而在易感者很多时，就不是那么合理了，因为一个染病者与其他人的接触数是有限的，或者当染病人数较多时，一个染病者接触的人数除了易感者也会有一部分染病者。由于接触能力的限制，传染力最终有一个饱和状态，因此饱和发生率得到越来越多的关注。在文献[5]与文献[6]中，作者研究了一类具有饱和发生率[WTBX][SX（]βS（t）I（t）[]1+α1S（t）[SX）]的模型。这里α1是对易感者采取的适当保护措施。在文献[7]与文献[8]中，作者研究了一类具有饱和发生率
4结论
本文所研究的一类带有时滞的SIR模型是具有饱和发生率和指数出生的，通过分析得到了系统的地方病平衡点的稳定性，并找到系统发生分支的临界值，通过数值模拟验证了理论分析结果的正确性。通过特征方程的方法分析了系统的Hopf分支，以及关于系统其他类型的分支，今后会做更深入的分析。另外，在研究方法的应用上，整篇文章都是以传染病的传播为例进行分析，实际上，
这些结果也可以应用于对计算机病毒以及信息传播的分析，另外，还可以研究网络上的SIR模型。本文研究的结果对研究整体的动力学行为具有一定的参考价值。
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