摘要：针对高等工科院校复变函数与积分变换教学现状，结合自身实际经验，从教材、教学内容完善，教学方法改进，强调动手能力等方面提出建议和实例。
关键词：复变函数与积分变换；Matlab；类比教学；启发教学；形象教学
中图分类号：G642.；O177.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）06-0033-03
复变函数与积分变换课程是工科高等院校的一门基础课程，对数学领域和其他自然科学领域的发展都有重要影响.它为数学的许多分支提供了一种重要的解析工具.它是解决诸如流体力学、空气动力学、电磁学、热学及弹性力学中平面问题的有力工具，同时也是研究微分方程、积分方程、数学物理方程、积分变换等数学分支的必要工具，更是学习自动控制、电子工程、信息工程与机电工程等专业课的理论基础[1，2]，是工科学生从事理论研究、实际操作以及深层学习必不可少的知识准备，传统的教学模式已经远远不能适应社会发展的需要，因此，以全面提高学生素质为目的，对教学内容、教学方法、教材等方面进行全面改革势在必行[3，4]。
一、教材完善
教材是教师和学生交流的重要载体之一，也是学生进行学习和自我学习的重要工具，因此，教材内容的选取至关重要，对教学效果有直接影响。在选取教学内容时，首先根据理工科学生的特点，注意难易适度，加强学科间的交叉，在制定教学大纲时注意结合不同专业学生特点，加以区别。避免传统教学中重理论、轻应用的现象，强调工程应用，例如学习留数时介绍留数在计算实积分、数字滤波器性能分析和形状设计中的应用；学习傅立叶变换时介绍其在线性时不变系统的应用；学习拉普拉斯变换时介绍其在现代信号处理、电路中的应用等。体会到复变函数与积分变换课程在本专业中的作用，看到后续课程甚至科学研究中都要用到这些知识，从而激发学生的学习热情，变被动学习为主动学习，经常他们带着相关问题进行学习讨论，进而促进学生对专业知识的理解。理论联系实际，加强实践环节。下面单独列出一章，专门介绍复变函数与积分变换在各个方面的应用，供教师适当选择讲解，也可供有兴趣的同学作为参考。
二、改进教学方法
1.类比教学法。在教学过程中，类比的过程是培养学生创造性思维的过程。通过适当比较，学生能更清晰、更容易理解相应知识点。
虽然复变函数论有本学科的独立性、完整性，但作为高等数学的后继课程，在知识上与高数有着千丝万缕的联系，许多概念和定理都与高等数学理论类似，甚至在章节安排上也能清晰地看到这一点。因此在教学中运用“复与实”的类比，一维与二维的类比、有限与无限的类比等，可以使学生了解新旧知识的关系，激发他们对新知识的积极性。在教学过程中，合理地利用类比法与数学分析中的相应的内容进行比较，引导学生进行某种类比，这样可以做到知识的承前启后的效果，加深学生对知识的再理解，使得学生在学习的过程中不断地思考。在教授学生时，一方面要强调二者之间联系，同时更要关注二者之间的差别，这种不同之处体现为两种情况：（1）表面形式相同，但本质不同。例如：一元复函数的极限、连续、可导的定义与一元实函数完全相同，但一元复函数的定积分形式上与一元实函数的定义相同，但本质上接近二元实函数的曲线积分。（2）从内到外都不同，完全是新的内容，例如：罗朗级数，留数等。教学中如何向学生展示二者的联系与差异，揭示复变函数的本质属性，是上好这门课的关键所在。
2.启发式教学。启发式教学由来已久，对提高学生分析问题、解决问题以及实际动手的能力有着十分重要的意义。在教学中应强调教师为主导，学生为主体，充分调动学生的主观能动性，适当加以引导，达到完美的课堂效果。例如，在学习复积分时，提示学生注意哪些积分与路径无关，哪些积分与路径有关，积分注意先看被积函数解析性。在讲述多连通区域柯西积分定理时，先回顾单连通区域柯西积分定理，要求学生尝试给出直接推广；学习留数概念时思考为什么叫留数等等。在高等数学中所学的牛顿莱布尼兹公式、求导四则运算、洛必塔法则、分步积分法等结论多数都可以推广到复分析中，那么微分中值定理不能直接推广到复变函数中来？不能怎么办？可不可以考虑弱些的结论？在讲述傅立叶级数的复指数形式时，提出问题：为什么要做如此转换？复指数本身有哪些好处？在工程中这种信号有什么优势？从学生熟悉的问题寻找切入点，让学生的头脑动起来。在学习拉普拉斯变换时，让学生思考拉普拉斯变换和傅立叶变换的区别与联系，进一步给出几种其他积分变换：Hilbert变换、z变换等，让学生自己加以比较分析。对这些问题，鼓励学生去查找相关的资料，加以分析，解决问题并提出新的问题.引导学生走上“提出问题—解决问题—提出新问题”的科学研究的道路上来，培养他们科学的思维方式。
3.形象教学。在教学过程中，很多问题比较抽象，这时，如果能从几何上加以描述，问题会变得形象，学生易于理解和接受。例如，介绍无穷远点的邻域时，可以利用复球面与扩充复平面以及北极N和无穷远点之间的对应关系，容易得出无穷远点的邻域在复球面上即为北极N附近的纬线围成的部分，因此在扩充复平面中以点为中心的邻域为{z：|z|>M}.在积分这章，让学生考虑怎样测量地心温度这一问题，介绍复积分的物理意义；在保形映射这章，让学生考虑为什么数码相机比普通相机更有立体感，等等。
此外，合理利用现代化的教学手段，当今社会，网络、计算机、多媒体等飞速发展，这些为我们教学提供了大量的便利工具.我们在复变函数与积分变换的教学中，已经适当地运用了多媒体、投影仪等教学手段，一方面更有效的利用课堂时间，另一方面，可将所收内容用更形象的方式展示，让学生更感兴趣。把Matlab应用到复变函数论中的复数运算、方程求根、泰勒展开式、函数在孤立奇点处的留数等等，既使学生理解了概念，掌握了复变函数的基本运算，同时加强学生的动手能力。
例如，对数函数Lnz的图像：
z=cplxgrid（20）；
w=log（z）；
for k=0：3；
w=w+i*2*pi；
surf（real（z），imag（z），imag（w），real（w））；
hold on
title（"Lnz"）
end
幂函数的图像：z=cplxgrid（30）；cplxmap（z，z.^3）；title（"z^3"）
余弦函数cos（z）的图像：z=cplxgrid（20）；cplxmap（z，cos（z））；title{"cos（z）"}
另外，我们正尝试运用网络这一现代化工具，构建一个网上平台.在这里同学们可以互相推荐学习资料，交流学习心得，自由提问、答疑，我们想这也许更能促进学生学习的兴趣，也是对我们课堂教学的有益补充。
三、教学内容的完善
穿插科学发展背景，提高学生兴趣，将数学发展史和教学有机结合；在课程讲授过程中遇到很多科学家，如欧拉、黎曼、柯西等，讲授科学家的奇闻轶事，提高学生兴趣。复变函数中的许多理论与方法不仅给数学的许多分支提供一种重要的解析工具，而且在其他自然科学和各种工程领域特别是信号处理以及物理学等的研究方面有着广泛的应用。补充介绍目前本学科的进展情况以及本学科与其他学科联系。例如，在介绍傅立叶变换时简单介绍小波变换思想，傅立叶变换在分析处理信号的方法上的局限性，以及小波变换是怎样克服傅立叶变换的弱点的等等。
四、联系实际、提高动手能力
目前，随着科学的迅猛发展，数学的实际应用已越来越广泛，其相应的计算量也越来越大，MATLAB是一种具有强大数值计算，分析和图形处理功能的科学计算语言，其应用领域极为广泛。将复变函数与积分变换的教学与Matlab适当结合，鉴于Mathcad能轻松地将一些数学问题直观地求解显现出来的特点，能促进学生对知识的理解，提高学生的学习兴趣。尤其在积分变换部分，这种优势更加明显。
例1：已知f（t）=ε（t+1）-ε（t-1），且f1（t）=f（6t），利用matlab在同一个图中画出它们的幅度谱；验证傅立叶变换的相似变换性质。
Matlab程序：
>> N=256；M=500；
>> t=linspace（-2，2，N）；
>> w=linspace（-10*pi，10*pi，M）；%在区间-10*pi，10*pi]内进行频率分割
>> dt=4/（N-1）；
>> f=heaviside（t+1）-heaviside（t-1）；
>> F=f*exp（-j*t"*w）*dt；
>> a=6；t1=a*t；
>> f1=heaviside（t1+1）-heaviside（t1-1）；
>> F1=f1*exp（-j*t"*w）*dt；
>> figure（1）；
>> subplot（2，1，2）；plot（w，real（F），w，real（F1），"r"）；grid on
>> subplot（2，1，1）；plot（w，real（F），w，real（F1），"r"）；grid on
>> xlabel（"w"）；
>> ylabel（"real（F（w））"）；
>> title（"傅里叶变换的实部"）；
>> subplot（2，1，2）；plot（w，abs（F），w，abs（F1），"r"）；grid on
>> xlabel（"w"）；
>> ylabel（"abs（F（w））"）；
>> title（"信号的幅度谱"）；
图示：
参考文献：
[1]钟玉泉.复变函数[M].高等教育出版社，2004.
[2]王省哲，怡晓玲.弹性力学问题复变函数解析的应用与发展[J].力学与实践，2008，（30）.
[3]袁亚湘.大学数学重在介绍思想[J].高等数学研究，2002，（3）.
[4]龚定东，许玉琴.关于复变函数与积分变换课堂教学的思考[J].高等数学研究，2009，（12）.
作者简介：滕岩梅，北京航空航天大学数学与系统科学学院，副教授。