学习热情，不能体现该门课程对于其他专业课程支撑作用的弊端，提出在网络教学资源的支持下，在离散数学课程的教学过程中，采用翻转课堂及传统课堂相结合的混合教学模式，设计了该教学模式的框架结构，通过教学案例诠释了该模式的实施过程，并根据教学实践效果分析了其优点及局限性。
关键词：离散数学；翻转课堂；混合教学模式
doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2019.01.015
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1671-1580（2019）01-0068-04
离散数学课程是计算機学科的专业基础课程，对后续的数据结构、数据库、软件工程等专业课程的学习具有重要作用。它具有内容多而杂的特点，在有限的学时下，按照传统的授课方式，教师只能讲述基本的概念、定理及一些习题，很难再有时间去介绍该门课程的应用及与其他专业课程之间的关系。另外该门课程概念、定理较多，采用传统的教学授课方法，学生感觉枯燥无味，对课程的学习缺乏热情，课堂上参与度很低，导致在最后的期末考试中成绩不理想。
翻转课堂是近些年出现的一种新型授课方式，由国外大学率先提出，建议在课堂上构建有意义的事情来代替信息传递，使课堂上教师向学生简单的信息传递转换成信息的同化，课堂的学习过程是教师对学生的辅导而不是教师的演讲。“翻转课堂”是学生首先在课前通过网络上的资料进行自主学习，课上则侧重于交流及做应用训练的一种教学模式，这样做的优点是学生对已经掌握的内容可以快速看，有些难的则可以反复播放，可汗学院就是基于此模式建立的，这种方式提供了友好、合作的学习空间，通过非传递性教学策略打造了个性化学习模式。
教学技术及网络的发展使得翻转课堂的教学理念有了很好的实践土壤。因此，本文在将翻转课堂的教学模式应用于离散数学课程教学的基础上，提出了基于翻转课堂的混合教学模式。在该模式下，有些章节采用传统课堂授课方式，有些章节教师则会在网络平台或者在每一次课程结束前，布置学习任务，要求学生独立学习下一节课中所涉及的基本概念、定理等，学习主要是通过网上教师提前录制的视频及PPT等，课堂上则侧重于答疑解惑及介绍课程的应用与在计算机课程体系中与其他专业课程之间的关系。教师在课堂上通过提问掌握学生自学情况，针对共同问题重点讲解。采用混合教学模式，能够提高学生自学能力，并使离散数学课程真正起到专业基础课应有的作用。
一、混合教学模式下教学内容的划分
有些章节，例如数理逻辑部分，概念、定义本身理解有些难度，采用传统教学方式讲授，教师在课堂上按照常规方式从基本定义、案例、习题进行讲解，学生课后进行复习，完成作业。有些章节，例如集合及关系，定义、概念易于理解，学生之前对部分内容已有了解，则通过网络教学平台，将PPT及与这部分内容相关的一些网络资源发给学生，学生自学后，教师在课堂上有针对性地进行提问，检验学生对基本知识概念的掌握情况，并对共性问题进行讲解，同时引导学生思考并进行讨论该部分内容的应用及与其他专业课程之间的联系，从而弥补了课程由于课时限制而忽略离散数学课程作为专业基础课程对其他课程的支撑作用的不足。
离散数学课程教学内容主要分为集合及关系、数理逻辑、代数系统、图论、常用图及图的应用几个部分，根据各部分的特点选用传统授课方式或者翻转课堂模式，具体实现情况如表1。
二、“翻转课堂”教学模式的流程
（一）“翻转课堂”实施过程
“翻转课堂”主要分为课内及课外两个部分，它实际是将传统课堂外的课后作业及实践应用放到课堂内，进行在教师引导下的提问、讨论及答疑解惑；而将传统课堂上的教师为主导、以教师为中心的授课，转换为课堂外的以学生为主体的在线学习。“翻转课堂”教学流程如图l所示。
课外学生在线学习的方式主要有课程PPT、视频及微课，教师将传统课堂上的教学内容提前发给学生，使学生的学习不偏离教学目标及教学大纲。短视频有两种途径获得：①是教师提前录制，例如与某个热点及专题相关，或者与教学内容相关的背景知识，并且为每一个视频配备一个教学指导，逐渐开发一些学习软件，囊括教学资源、小测试，以检验学生对视频材料的理解程度；②从Ted、Youtube、Khan Academy等网站下载获得，视频应该具有暂停、回放等功能，使得学生可以根据自己的学习习惯及进度开展个性化的学习。对于有些难点，例如重要的定理推导、习题的讲解可以制成微课形式，学生根据自己掌握的情况选择性学习。微课围绕特定主题，学生只有在完全掌握一个专题后，才可以开始下一专题内容的学习，学生通过展示学习成果来显示他们的学习轨迹，以此作为评价考核的一个方面。一般来说，视频或者微课的学习时间以8～10分钟为宜。视频内容需要覆盖理论、方法及对翻转主题的注解，考核更侧重于在课堂上的表现。
“翻转课堂”下的课内主要是通过教师提问、答疑解惑及学生讨论实现。教师主要是根据教学目标及学生课后学习的内容进行提问，以加强学生提前预习，检验考核学生学习情况，或者设计问题以引导学生对所学内容进行拓展性思考及讨论。课堂上的答疑解惑不同于传统课堂上学生缺少思考而直接寻求帮助、教师简单回答问题，而是在学生运用在线技术，经过更有深度的探索主题、经过讨论后，教师基于共有问题进行讲解，从而为学生创造出更有意义的学习机遇，并且使信息传递方式多样化。学生在课堂上的讨论，主要是经过分析、思考后的关于某个主题的分组研讨，及通过实践激发实现其对具体问题的应用。讨论基于合作的互动方法，可以分享各自不同看法。在课堂上解决翻转课堂中的一些专题，使学生在课外的学习内容得以消化吸收。
（二）“翻转课堂”在“关系”一章中的实践应用
“关系”一章中的知识结点如图2所示。
课外活动。①由于前面章节中学生对于集合已经有了充分认识，关系是基于集合定义的，学生能够通过PPT自学掌握，教师录制微课及视频（也有部分从网上下载），介绍关系数据库相关知识，并且在视频最后提出问题：如何理解笛卡尔积、关系模型及数据库表之间的关系？如何理解关系运算及关系数据库操作之间的关系？②由于关系的性质、特殊关系比较重要，有些部分比较难理解，教师会将传统课堂上的教学内容录制成短视频供学生观看，每个性质录制一段，对于等价关系、相容关系及偏序关系这些特殊关系，则主要通过一些实例，引发学生思考生活中还有哪些关系是等价关系及相容关系，偏序关系则通过其在拓扑排序中的应用视频使学生理解其对后续课程中的作用。
课内活动。①教师针对课外视频中基本概念提问，可以通过一些习题检验学生掌握情况，鼓励学生对视频中的提问进行讨论，并且最终给予讲解，使学生通过深层次思考，理解离散数学课程对其他专业课程的支撑作用。例如通过启发讲解，关系中的并、交、减法运算实际是关系数据库中的增加、查找及删除运算。②学生基于教师的提问进行讨论，也可以针对学习过程中遇到的问题提出质疑进行讨论，使学生在讨论过程中加深对知识的理解。例如有的学生对等价类与划分之间的关系表示不理解，教师可以鼓励其他同学为其讲解、讨论，最终通过图示化方式讲解划分块及等价类之间的对应关系。
（三）“翻转课堂”在“图论”一章中的实践应用
课外活动。①首先由教师发布关于哥尼斯堡问题的视频，在视频中通过示意图介绍问题的背景，并且设计问题：18世纪，东普鲁士的哥尼斯堡城有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来，城里的居民一直做一个游戏，并提出问题，一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地走完七座桥，最后回到出发点，而居民一直没有找到问题的答案。后来大数学家欧拉把它抽象为一个几何问题并向圣彼得堡科学院提交了《哥尼斯堡七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支——图论。欧拉的解决方案是抽象：把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示，从而将该问题转换为图的模型（此时将抽象后的示意图展示出来），问题求解转换为：从图中某一点出发，在不抬笔的情况下，不重复地画过每一条线，最终回到起点。欧拉解决一笔画问题的最终结论是：图是连通的、且奇点的数目不是0个就是2个。介绍到此，使学生对于使用抽象方法解决问题有了感性认识，同时引导学生利用算法去解决图问题。②在短视频中介绍图的基本概念、图的表示方式：G=（V，E），V表示所有顶点集合，E表示所有边的集合；图在计算机中的存储：顶点集合可以用一维数组，边的存储可以用邻接矩阵等形式。提出问题：哥尼斯堡七桥问题中的抽象模型信息如何在计算机中存储？并介绍图的连通、奇点及度等概念。
课内活动。首先要求学生回答在视频中的提问，从而检验考核学生对图的基本概念的掌握情况，并通过讨论，最终得到七桥问题的正确的邻接存储矩阵形式。教师介绍Washall算法，引导学生将该邻接矩阵转换为可达矩阵，通过可达矩阵可以判断各个节点之间是否有路径，如果可达矩阵中的所有元素均为1，该矩阵所对应的图是连通的。教师以此思路引导学生解决问题：数据存储+算法=程序，提示学生写出问题算法，并且留作业要求学生用某种计算机语言实现基于该种存储形式的程序，并且上机实践，从而获得该问题的解。
三、实践效果
在離散数学课程中采用基于“翻转课堂”的混合教学模式，在实施“翻转课堂”教学的章节中，教师提供教学素材、工具及支持，学生在通过视频及微课学习的过程中，可以设立目标，自己安排时间，按照自己的节奏去听课，已经掌握的可以快速进行，没有掌握的可以重复去听，而传统课堂教学中，所有学生步调都一致，不可能对应不同学生进行针对性的讲解，也不利于学生的个性化学习。混合教学模式提高了学生的参与度，促进了教学的有效性，这种提高主要是通过学生课堂表现及测试中的成绩综合评价得出的。通过2016级、2017级两个年级学生作为样本的调查结果显示，“翻转课堂”使学生课堂表现更佳，取得更好的成绩，对其他专业课程有很好的促进作用。
这种混合教学模式从教师角度来看，减轻了每次课前备课及批改试卷两项工作，将这些活动转移到课内，增加了学生的课内时间，使得课堂上每个人都有事情可做；从学生角度来看，每个学生可以自由选择学习时间去听课，与传统课堂相比，学生听课满意度从34.6%上升到89.5%，使得学生对基于解决问题和基于实践的学习形式更有兴趣。
在这种混合教学模式实践之初，学生对于这种“翻转课堂”的听课形式有所恐惧，主要体现在：害怕自己“教”自己，担心缺乏教师正确引导及缺少合理的课程设计而导致个人在课堂上不能有很好表现，影响成绩而产生较大压力。通过两年的实践，大多数学生打消了这种顾虑，并且有92.5%接受了这种教学形式。在翻转课堂提供的教学形式中（包括视频、PPT、学生讨论、在线交流、微课），有59.26%的学生对于视频、微课有较高的评价。
综合以上实践效果得出结论，在离散数学教学中运用混合教学模式是一种可行、有效的方法，能够培养学生在混合式学习环境中的认知学习过程及学习成果的整体动机、能力、自主l生及关联性。
四、结语
在离散数学中应用“翻转课堂”混合教学模式，增强了学生的听、看、实践及解决问题等方面的训练，增加了学生及教师之间和学生与学生之间的沟通交流，网上平台的运用使得这种沟通更加方便。这是一种以学生为中心的教学模式，极大提高了学生学习的积极能动性，使得原本枯燥的课题变得生动有趣，使得学生在愉快的氛围中学习和实践。这种教学模式通过视频及微课形式，鼓励学生去理解提供给他们的信息背后的内在的逻辑关系，避免了之前对教学内容考前突击、考后遗忘的现象。混合教学模式的考核评价更侧重于学生在课堂上的个体工作及在其小组中的表现，促使学生必须把基础信息学好，为他们之后专业课程的学习奠定更坚实的基础。
但这种教学模式也有一定局限性。学生方面：①由于家庭背景原因，上网观看视频、微课等的费用会增加部分学生的负担；②有些学生由于惰性，可能很快落后于其他同学，可能导致其失去信心；③学生课外听课，希望能获得更多样化的课后学习素材。教师方面同样也面对着相当的挑战：最初为准备高质量的视频、微课需要付出更多的时间和精力以及费用。
[责任编辑：韩璐]